Scenario :  友人が新車を購入した。仲間を誘って初ドライブに行くというので、私も加えてもらった。いざ出発！助手席に乗りたかったので、こう言った。

「助手席に乗っていい？」

"Can I sit up front?"

【ポイント】「助手席」は、「助手が乗る席」ではない。

いつから「助手席」という言い方ができたのか分かりませんが、確かに運転中の人は、運転に集中しなくてはならないので、何か頼み事をしたいときは、横に座っている人に頼みます。ですから助手のような気分になるのでしょうが、英語ではそのまま、「前に乗る」です。
”the passenger seat" でもいいです。冠詞は"the"です。運転席の隣に特定されるからだと思います。日本語の辞書では、"the passenger's seat"と出ていますが、英語の辞書では、すべて"the passenger seat"でした。

"sit up front" の他に、"sit in (the) front"でもいいです。ただし、「前に乗る」という表現なので、ドライバーの横ばかりでなく、ドライバーの席も含みます。しかし、大抵運転する人は決まっているでしょうから、日本語表現での「助手席」になります。（車の場合です。）
「後部座席にのる」は、"sit in(the) back seat", "take a back seat"です。"sit up back"はありません。。。

Englishラボのらぼでした。